自然數(shù)的分解：合數(shù)與素?cái)?shù) _合數(shù)

人們在鉆研事物時(shí)，總喜歡去探索根源，而這通常就需要對(duì)事物進(jìn)行分解，比如物理學(xué)就致力于尋覓形成物資的基本粒子。數(shù)學(xué)家們也同樣，在鉆研自然數(shù)時(shí)，也但愿能夠找到形成自然數(shù)的“基本粒子”，通過對(duì)自然數(shù)的分解，探究“最基本的數(shù)”，這也是本文的宗旨內(nèi)容，也就是講授合數(shù)與素?cái)?shù) 。
素?cái)?shù)指的是大于1的且只能被1以及本身整除了的自然數(shù)，其他的大于1的自然數(shù)被稱為合數(shù) 。舉例說明：最小的素?cái)?shù)是2，由于只有1以及2這兩個(gè)因子；最小的合數(shù)是4，由于它的因子包含1，2，4.咱們認(rèn)為素?cái)?shù)是不可分的，也即不能分解成其他數(shù)的乘積，但合數(shù)能夠分解成其他素?cái)?shù)的乘積，所以，素?cái)?shù)就好比是自然數(shù)的“基本粒子” 。這樣的“基本粒子”有多少個(gè)呢？這是數(shù)學(xué)家們很自然就會(huì)想到的問題，第一個(gè)解決這個(gè)問題的是歐幾里德（約公元前330-公元前275 ，中國戰(zhàn)國中后期），用的是反證法，參考如下：
假定素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是有限的，總共有n個(gè)，按大小順次排列為,構(gòu)造一個(gè)數(shù) ，它是所有素?cái)?shù)的乘積再加之1，如，很顯然a不被任何一個(gè)素?cái)?shù)整除了，更不可能被任何合數(shù)整除了，因而，a也是素?cái)?shù)，假定即不成立，素?cái)?shù)是無窮多個(gè)的。
然而，如上構(gòu)造法得到的數(shù)并不是一定是素?cái)?shù)，咱們以20之內(nèi)的素?cái)?shù)來舉例計(jì)算：

其中，,即不是素?cái)?shù) 。怎么尋覓素?cái)?shù)是數(shù)學(xué)家?guī)浊暌恢迸Φ姆较颍钕鹊膶ひ掁k法叫做“篩法”，也是比較原始的辦法，舉例尋覓20之內(nèi)的所有素?cái)?shù)，先把20之內(nèi)的自然數(shù)（1去掉）順次排列如下：
2，3，4，5 ， 6，7 ， 8，9，10 ， 11 ， 12，13 ， 14，15，16，17，18，19，20
第一步，去掉所有2的倍數(shù)，得到2，3，5，7 ， 9，11，13，15 ， 17，19；
第二步，再去掉所有3的倍數(shù) ，得到2，3，5，7，11，13，17，19
然后，順次去掉所有5的倍數(shù)及其他素?cái)?shù)的倍數(shù)，本例中終究結(jié)果是：2，3，5，7 ， 11，13，17 ， 19 。
然而這樣的辦法確切太慢了，數(shù)學(xué)們但愿能夠找到更快速的辦法來尋覓素?cái)?shù)，比如著名的業(yè)余數(shù)學(xué)巨匠費(fèi)馬（1601-1665，明代萬歷29年-清代康熙4年），他在中國最廣為人知的是以他命名的費(fèi)馬大定理，他提出一個(gè)公式來發(fā)生素?cái)?shù)，并自認(rèn)是正確的，這個(gè)公式如下：
,費(fèi)馬算出了前4個(gè)數(shù)，均為素?cái)?shù)，如下：
然而，號(hào)稱所有人的老師的歐拉（1707-1783，清代康熙46年-乾隆48年）算出第五個(gè)數(shù)，立馬顛覆了費(fèi)馬的結(jié)論，，再日后算得到結(jié)果也不是素?cái)?shù)，如。
另外一個(gè)構(gòu)造素?cái)?shù)的辦法是,梅森（1588-1648，明代萬歷16年-清明順治5年）與費(fèi)馬通訊探討過這個(gè)公式，并經(jīng)由四年鉆研，得到結(jié)果當(dāng)n=2 ， 3，5，7，13 ， 17，19時(shí)，這個(gè)公式計(jì)算所得的數(shù)是素?cái)?shù) ，同時(shí)，料想n=31,67,127,257時(shí)，所得的數(shù)也是素?cái)?shù)（人們稱這類素?cái)?shù)為梅森素?cái)?shù)），然而，1930年，數(shù)學(xué)家科爾算出,顛覆了梅森的料想。2016年，美國數(shù)學(xué)家?guī)扃臧l(fā)現(xiàn)第49個(gè)梅森素?cái)?shù)，即,這個(gè)素?cái)?shù)有22338618位。借助計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力，幫助人們繼續(xù)尋覓更大的梅森素?cái)?shù)，“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜尋”（簡稱GIMPS）項(xiàng)目動(dòng)用180個(gè)國家以及地區(qū)超過27萬人，70萬臺(tái)計(jì)算機(jī)來尋覓梅森素?cái)?shù) 。
數(shù)學(xué)們至今都未能找到一個(gè)行之有效的發(fā)生素?cái)?shù)的辦法！
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